Riješite \(6y''-5y'-y=0\), uz ove početne uvijete \(y(0)=1\), \(y'(0)=-2\) laplaceovom transformacijom.
\[6\big(s^2y(s)-sy(0)-y’(0)\big)-5\big(sy(s)-y(0)\big)-y(s)=0\]
\[6\big(s^2y(s)-s+2\big)-5\big(sy(s)-1\big)-y(s)=0\]
\[6s^2y(s)-6s+12-5sy(s)+5-y(s)=0\]
\[y(s)(6s^2-5s-1)=6s-17\]
\[y(s)=\frac{6s-17}{6s^2-5s-1}\]
Pomoću kvadratne jednadžbe (njena rješenja su -1/6 i 1) faktorizirajmo nazivnik.
\[y(s)=\frac{6s-17}{6(s+\frac{1}{6})(s-1)}\]
Ovaj razlomak (bez one 6-ice u nazivniku, nju ćemo pred kraj napisati) ćemo rastaviti na parcijalne razlomke. Treba naći A i B.
\[\frac{6s-17}{(s+\frac{1}{6})(s-1)}=\frac{A}{s+\frac{1}{6}}+\frac{B}{s-1} \quad \bigg/\cdot(s+\frac{1}{6})(s-1)\]
\[6s-17=A(s-1)+B(s+\frac{1}{6})\]
\[6s-17=As-A+Bs+\frac{1}{6}B\]
Sada dobijemo sustav dvije jednadžbe:
\[A+B=6\]
\[-A+\frac{1}{6}B=-17\]
Zbrojimo ih i dobijemo \(\text{B}=\frac{-66}{7}\), \(\text{A}=\frac{108}{7}\). I sada imamo:
\[y(s)=\frac{1}{6}\bigg(\frac{108}{7}\cdot\frac{1}{s+\frac{1}{6}}-\frac{66}{7}\cdot\frac{1}{s-1}\bigg)\]
\[y(s)=\frac{18}{7}\cdot\frac{1}{s+\frac{1}{6}}-\frac{11}{7}\cdot\frac{1}{s-1}\]
Sada koristeći tablicu laplaceove transformacije elmentarnih funkcija dobijemo rješenje (primjetiom da nema više \(s\) nego \(x\)):
\[y(x)=\frac{18}{7}e^{\frac{-1}{6}x}-\frac{11}{7}e^x\]