April 13, 2018

Laplaceova transformacija

Riješite , uz ove početne uvijete , laplaceovom transformacijom.


\[6\big(s^2y(s)-sy(0)-y’(0)\big)-5\big(sy(s)-y(0)\big)-y(s)=0\] \[6\big(s^2y(s)-s+2\big)-5\big(sy(s)-1\big)-y(s)=0\] \[6s^2y(s)-6s+12-5sy(s)+5-y(s)=0\] \[y(s)(6s^2-5s-1)=6s-17\] \[y(s)=\frac{6s-17}{6s^2-5s-1}\] Pomoću kvadratne jednadžbe (njena rješenja su -1/6 i 1) faktorizirajmo nazivnik.
\[y(s)=\frac{6s-17}{6(s+\frac{1}{6})(s-1)}\]
Ovaj razlomak (bez one 6-ice u nazivniku, nju ćemo pred kraj napisati) ćemo rastaviti na parcijalne razlomke. Treba naći A i B. \[\frac{6s-17}{(s+\frac{1}{6})(s-1)}=\frac{A}{s+\frac{1}{6}}+\frac{B}{s-1} \quad \bigg/\cdot(s+\frac{1}{6})(s-1)\] \[6s-17=A(s-1)+B(s+\frac{1}{6})\] \[6s-17=As-A+Bs+\frac{1}{6}B\] Sada dobijemo sustav dvije jednadžbe: \[A+B=6\] \[-A+\frac{1}{6}B=-17\] Zbrojimo ih i dobijemo , . I sada imamo: \[y(s)=\frac{1}{6}\bigg(\frac{108}{7}\cdot\frac{1}{s+\frac{1}{6}}-\frac{66}{7}\cdot\frac{1}{s-1}\bigg)\] \[y(s)=\frac{18}{7}\cdot\frac{1}{s+\frac{1}{6}}-\frac{11}{7}\cdot\frac{1}{s-1}\] Sada koristeći tablicu laplaceove transformacije elmentarnih funkcija dobijemo rješenje (primjetiom da nema više nego ): \[y(x)=\frac{18}{7}e^{\frac{-1}{6}x}-\frac{11}{7}e^x\]